Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку максимума функции y=ln(x-7)-2x-3.

Область определения функции:
\[x-7>0,\]
то есть
\[x>7.\]

Найдём производную:
\[y'=\frac{1}{x-7}-2.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[\frac{1}{x-7}-2=0.\]

Тогда
\[\frac{1}{x-7}=2,\]
откуда
\[x-7=0{,}5.\]

Значит,
\[x=7{,}5.\]

Если \(7<x<7{,}5\), то \(\frac{1}{x-7}>2\), значит \(y'>0\).

Если \(x>7{,}5\), то \(\frac{1}{x-7}<2\), значит \(y'<0\).

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x=7{,}5\) — точка максимума.

Ответ: \(7{,}5\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор