Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку минимума функции y=(6-4x)cos x+4sin x+12…

Найдём производную:
\[y'=(6-4x)'\cos x+(6-4x)(\cos x)'+4\cos x.\]

Получаем:
\[y'=-4\cos x-(6-4x)\sin x+4\cos x.\]

Слагаемые с \(\cos x\) сокращаются:
\[y'=(4x-6)\sin x.\]

Вынесем \(2\) за скобки:
\[y'=2(2x-3)\sin x.\]

На промежутке \((0;\frac{\pi}{2})\) выполняется \(\sin x>0\), поэтому нулём производной может быть только множитель \(2x-3\):
\[2x-3=0.\]

Отсюда
\[x=\frac{3}{2}=1{,}5.\]

Если \(x<1{,}5\), то \(2x-3<0\), значит \(y'<0\).

Если \(x>1{,}5\), то \(2x-3>0\), значит \(y'>0\).

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x=1{,}5\) — точка минимума.

Ответ: \(1{,}5\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор