Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку минимума функции y=x²-28x+96ln x+31.

Область определения функции: \(x>0\).

Найдём производную:
\[y'=2x-28+\frac{96}{x}.\]

Решим уравнение \(y'=0\):
\[2x-28+\frac{96}{x}=0.\]

Умножим на \(x\), учитывая, что \(x>0\):
\[2x^2-28x+96=0.\]

Разделим на \(2\):
\[x^2-14x+48=0.\]

Разложим на множители:
\[(x-6)(x-8)=0.\]

Критические точки:
\[x=6\]
и
\[x=8.\]

Так как
\[y'=\frac{2(x-6)(x-8)}{x},\]
а \(x>0\), знак производной определяется множителями \((x-6)(x-8)\).

На промежутке \((6;8)\) производная отрицательна, а при \(x>8\) положительна. Значит, в точке \(x=8\) функция переходит от убывания к возрастанию.

Точка минимума равна \(8\).

Ответ: \(8\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор