Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку минимума функции y=-x/x²+256.

Функция определена при всех \(x\), так как \(x^2+256>0\).

Найдём производную по правилу производной дроби:
\[y'=-\frac{(x^2+256)-x\cdot2x}{(x^2+256)^2}.\]

Упростим числитель:
\[y'=-\frac{256-x^2}{(x^2+256)^2}.\]

Значит,
\[y'=\frac{x^2-256}{(x^2+256)^2}.\]

Критические точки находятся из уравнения
\[x^2-256=0.\]

Тогда
\[x=\pm16.\]

Знаменатель производной всегда положителен, поэтому знак производной определяется числителем \(x^2-256\).

При \(-16<x<16\) производная отрицательна, а при \(x>16\) положительна. Поэтому при переходе через \(x=16\) функция меняет убывание на возрастание.

Точка минимума равна \(16\).

Ответ: \(16\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор