Задание №19 ЕГЭ: Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно…

а) Сумму \(175\) рублей можно набрать так:
\[29\cdot5+15\cdot2=145+30=175.\]
Значит, это возможно.

б) Проверим сумму \(176\). Если использовано \(b\) пятирублёвых монет, то остаток
\[176-5b\]
должен делиться на \(2\). Значит, \(b\) должен быть чётным.

При \(b=28\) остаток равен
\[176-5\cdot28=36,\]
то есть нужно \(18\) двухрублёвых монет, а их всего \(16\). При меньших чётных \(b\) остаток будет ещё больше. Значит, \(176\) рублей набрать нельзя.

в) Без рублёвых монет нельзя набрать сумму \(1\). Добавим \(m\) монет по \(1\) рублю.

Общая сумма двух- и пятирублёвых монет равна
\[16\cdot2+29\cdot5=177.\]
Чтобы набрать \(178\), \(179\) и \(180\) рублей, нужно иметь как минимум \(3\) рублёвые монеты. Покажем, что трёх достаточно.

Монетами \(1\) и \(2\) рубля при трёх рублёвых и шестнадцати двухрублёвых можно набрать любую сумму от \(0\) до
\[3+16\cdot2=35.\]
Пятирублёвые монеты добавляют любые суммы, кратные \(5\), от \(0\) до \(145\).
Так как промежутки длины \(35\) сдвигаются на \(5\), они перекрываются и дают все суммы от \(0\) до \(180\). Поэтому достаточно \(3\) рублёвых монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(3\).

Источник: ЕГЭ 2024