Задание №19 ЕГЭ: В трёхзначном числе abc произведение его цифр abc не равно… — задача 13

Обозначим трёхзначное число через \(\overline{abc}=100a+10b+c\), где \(a\ne0\). По условию \(abc\ne0\), значит \(b\ne0\) и \(c\ne0\).

Рассмотрим отношение числа к произведению его цифр:
\[\frac{\overline{abc}}{abc} =\frac{100a+10b+c}{abc} =\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac1{ab}.\]

а) Значение \(9\) достигается, например, при \(a=1\), \(b=3\), \(c=5\):
\[\frac{135}{1\cdot3\cdot5}=\frac{135}{15}=9.\]
Значит, ответ в пункте а) да.

б) Так как \(a,b,c\ge1\), имеем
\[\frac{100}{bc}\le100, \qquad \frac{10}{ac}\le10, \qquad \frac1{ab}\le1.\]
Следовательно,
\[\frac{\overline{abc}}{abc}\le111.\]
Отношение не может быть равно \(120\), значит ответ в пункте б) нет.

в) Наибольшее отношение достигается при наименьших возможных знаменателях, то есть при \(a=b=c=1\):
\[\frac{111}{1\cdot1\cdot1}=111.\]

Ответ: а) да; б) нет; в) \(111\).

Источник: Ященко