Задание №19 ЕГЭ: Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый…

Общая масса всех камней равна
\[4\cdot7+9\cdot22=28+198=226\]
тонн.

а) Если разность масс групп равна \(8\), то массы групп равны
\[\frac{226+8}{2}=117, \qquad \frac{226-8}{2}=109.\]
Массу \(117\) можно получить так:
\[117=1\cdot7+5\cdot22.\]
Значит, разность \(8\) тонн возможна.

б) Для равных групп каждая группа должна иметь массу
\[\frac{226}{2}=113.\]
Нужно решить уравнение
\[7x+22y=113,\]
где \(0\le x\le4\), \(0\le y\le9\).

По модулю \(7\):
\[22y\equiv113\pmod7,\]
\[y\equiv1\pmod7.\]
Возможны \(y=1\) или \(y=8\). Если \(y=1\), то нужно
\[113-22=91\]
тонну набрать семитонными камнями, то есть нужно \(13\) таких камней, а их всего \(4\). Если \(y=8\), масса уже равна \(176>113\). Значит, равные группы невозможны.

в) Переберём возможные массы одной группы вблизи половины общей массы \(113\).

Достижимые значения около \(113\):
\[110=5\cdot22,\]
\[116=4\cdot7+4\cdot22,\]
\[117=1\cdot7+5\cdot22.\]
Ближайшее достижимое значение к \(113\) равно \(110\) или \(116\). Тогда минимальная положительная разность равна
\[|226-2\cdot110|=6.\]

Ответ: а) да; б) нет; в) \(6\).

Источник: ЕГЭ 2024