Задание №19 ЕГЭ: На доске записано k последовательных натуральных чисел… — задача 8

На отрезке последовательных натуральных чисел ровно пять чисел делятся на \(20\).

а) Да, возможно. Например, на отрезке от \(21\) до \(126\) кратны \(20\) ровно пять чисел:
\[40,60,80,100,120.\]
При этом кратны \(21\) шесть чисел:
\[21,42,63,84,105,126.\]
Значит, чисел, делящихся на \(21\), может быть больше пяти.

б) Да, возможно. Например, на отрезке от \(40\) до \(120\) кратны \(20\) ровно пять чисел:
\[40,60,80,100,120.\]
А кратных \(15\) шесть:
\[45,60,75,90,105,120.\]

в) Найдём наибольшее возможное \(k\), для которого на таком отрезке может быть больше пяти кратных \(k\).

Чтобы среди записанных чисел было больше пяти чисел, делящихся на \(k\), на отрезке должны поместиться хотя бы шесть кратных \(k\). Минимальная длина отрезка, содержащего шесть кратных \(k\), равна
\[5k+1.\]

Если на отрезке ровно пять кратных \(20\), то его длина не может быть больше
\[6\cdot20-1=119,\]
иначе на любом таком отрезке обязательно встретились бы шесть кратных \(20\).

Следовательно,
\[5k+1\le119,\]
\[5k\le118,\]
\[k\le23.\]
Значение \(k=23\) достижимо: отрезок от \(21\) до \(138\) содержит шесть кратных \(23\) и только пять кратных \(20\).

Ответ: а) да; б) да; в) \(23\).

Источник: ЕГЭ 2025