Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 15

Докажем основной факт. Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\).

Действительно, возьмём две группы по \(m\) чисел, отличающиеся только одним числом. Суммы обеих групп делятся на \(m\), значит разность заменённых чисел тоже делится на \(m\).

В этой задаче это верно для \(m=4\) и \(m=7\). Поэтому все числа имеют одинаковые остатки по модулю
\[\operatorname{lcm}(4,7)=28.\]

Так как среди записанных чисел есть число \(563\), все записанные числа сравнимы с ним:
\[x\equiv563\equiv3\pmod{28}.\]

а) Проверим число \(1417\):
\[1417\equiv17\pmod{28}.\]
Остаток не равен \(3\), поэтому числа \(563\) и \(1417\) не могут быть записаны одновременно. Ответ в пункте а) нет.

б) Если одно из записанных чисел является квадратом натурального числа, то этот квадрат должен давать остаток \(3\) по модулю \(28\). Но квадраты по модулю \(28\) могут давать только остатки
\[0,1,4,8,9,16,21,25.\]
Остатка \(3\) среди них нет, значит такой квадрат невозможен.

в) Если среди чисел есть \(1\), то все числа сравнимы с \(1\) по модулю \(28\). Для квадрата натурального числа \(n^2\) получаем
\[n^2\equiv1\pmod{28}.\]
Наименьшее \(n>1\), удовлетворяющее этому сравнению, равно \(13\):
\[13^2=169\equiv1\pmod{28}.\]
Такой набор чисел можно составить из различных чисел, сравнимых с \(1\) по модулю \(28\), например включая \(1\) и \(169\).

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(13\).

Источник: ЕГЭ 2025