Задание №19 ЕГЭ: В трёхзначном числе abc произведение его цифр abc не равно… — задача 14

Обозначим трёхзначное число через \(\overline{abc}=100a+10b+c\), где \(a\ne0\). По условию \(abc\ne0\), значит \(b\ne0\) и \(c\ne0\).

Рассмотрим отношение числа к произведению его цифр:
\[\frac{\overline{abc}}{abc} =\frac{100a+10b+c}{abc} =\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac1{ab}.\]

а) Значение \(5\) достигается, например, при \(a=1\), \(b=7\), \(c=5\):
\[\frac{175}{1\cdot7\cdot5}=\frac{175}{35}=5.\]
Значит, ответ в пункте а) да.

б) Из оценки
\[\frac{\overline{abc}}{abc} =\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac1{ab} \le100+10+1=111\]
видно, что отношение не может быть равно \(120\). Значит, ответ в пункте б) нет.

в) Все три слагаемых
\[\frac{100}{bc},\quad \frac{10}{ac},\quad \frac1{ab}\]
уменьшаются при увеличении любой из цифр \(a,b,c\). Поэтому наименьшее отношение достигается при \(a=b=c=9\):
\[\frac{999}{9\cdot9\cdot9} =\frac{999}{729} =\frac{37}{27}.\]

Ответ: а) да; б) нет; в) \(\frac{37}{27}\).

Источник: Ященко