Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 16

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Это следует из замены одного числа в группе из \(m\) чисел.

В этой задаче это верно для \(m=5\) и \(m=6\). Поэтому все числа имеют одинаковые остатки по модулю
\[\operatorname{lcm}(5,6)=30.\]

Так как среди записанных чисел есть число \(602\), все записанные числа сравнимы с ним:
\[x\equiv602\equiv2\pmod{30}.\]

а) Проверим число \(1512\):
\[1512\equiv12\pmod{30}.\]
Остаток не равен \(2\), поэтому числа \(602\) и \(1512\) не могут быть записаны одновременно. Ответ в пункте а) нет.

б) Квадрат натурального числа должен был бы давать остаток \(2\) по модулю \(30\). Но квадраты по модулю \(30\) дают только остатки
\[0,1,4,6,9,10,15,16,19,21,24,25.\]
Остатка \(2\) среди них нет, значит такой квадрат невозможен.

в) Если среди чисел есть \(1\), то все числа сравнимы с \(1\) по модулю \(30\). Нужно найти наименьшее \(n>1\), для которого
\[n^2\equiv1\pmod{30}.\]
Наименьшее такое \(n\) равно \(11\):
\[11^2=121\equiv1\pmod{30}.\]
Такой набор чисел можно составить из различных чисел, сравнимых с \(1\) по модулю \(30\), включая \(1\) и \(121\).

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(11\).

Источник: ЕГЭ 2025