Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 17

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\).

Здесь это верно для \(m=3\), \(m=4\) и \(m=5\). Поэтому все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю
\[\operatorname{lcm}(3,4,5)=60.\]
Так как одно из чисел равно \(30035\), все числа сравнимы с ним:
\[x\equiv30035\equiv35\pmod{60}.\]

а) Число \(325\) даёт остаток
\[325\equiv25\pmod{60}.\]
Остатки \(25\) и \(35\) различны, значит число \(325\) не может быть среди записанных.

б) Если отношение двух записанных чисел равно \(7\), то эти числа можно обозначить \(x\) и \(7x\). Оба должны давать остаток \(35\) по модулю \(60\):
\[x\equiv35\pmod{60}, \qquad 7x\equiv35\pmod{60}.\]
Тогда
\[7x-x=6x\equiv6\cdot35=210\equiv30\not\equiv0\pmod{60}.\]
Получили противоречие, значит отношение \(7\) невозможно.

в) Пусть отношение двух записанных чисел равно целому \(n\). Тогда числа имеют вид \(x\) и \(nx\), причём оба сравнимы с \(35\) по модулю \(60\). Поэтому
\[(n-1)x\equiv0\pmod{60}.\]
Так как \(x\equiv35\pmod{60}\), получаем условие
\[(n-1)\cdot35\equiv0\pmod{60}.\]
Поскольку \(\gcd(35,60)=5\), число \(n-1\) должно делиться на \(12\). Наименьшее \(n>1\):
\[n=13.\]
Достижимость есть, например для чисел \(35\) и \(455=13\cdot35\), которые оба сравнимы с \(35\) по модулю \(60\).

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(13\).

Источник: ЕГЭ 2025