Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 18

Если среднее арифметическое любых \(3\), \(4\) или \(5\) чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по каждому из модулей \(3\), \(4\), \(5\). Значит, все они имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(3,4,5)=60.\]

Одно из чисел равно \(30032\), поэтому каждое записанное число удовлетворяет сравнению
\[x\equiv30032\equiv32\pmod{60}.\]

а) Проверим число \(312\):
\[312\equiv12\pmod{60}.\]
Остаток не равен \(32\), значит число \(312\) не может быть среди записанных.

б) Если отношение двух записанных чисел равно \(6\), то эти числа имеют вид \(x\) и \(6x\). Оба должны давать остаток \(32\) по модулю \(60\):
\[x\equiv32\pmod{60}, \qquad 6x\equiv32\pmod{60}.\]
Но тогда
\[6x-x=5x\equiv5\cdot32=160\equiv40\not\equiv0\pmod{60}.\]
Получили противоречие, значит отношение \(6\) невозможно.

в) Пусть отношение равно целому \(n\). Тогда для чисел \(x\) и \(nx\) должно выполняться
\[x\equiv32\pmod{60}, \qquad nx\equiv32\pmod{60}.\]
Вычитая сравнения, получаем
\[(n-1)x\equiv0\pmod{60}.\]
Так как \(x\equiv32\pmod{60}\), нужно
\[(n-1)\cdot32\equiv0\pmod{60}.\]
Поскольку \(\gcd(32,60)=4\), число \(n-1\) должно делиться на \(15\). Наименьшее \(n>1\):
\[n=16.\]
Достижимость есть, например для чисел \(32\) и \(512=16\cdot32\), которые оба сравнимы с \(32\) по модулю \(60\).

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(16\).

Источник: ЕГЭ 2025