Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 19

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Это следует из замены одного числа в группе из \(m\) чисел.

В задаче это условие выполнено для \(m=4\) и \(m=5\). Поэтому все числа имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(4,5)=20.\]

Так как среди чисел есть \(431\), каждое записанное число сравнимо с ним:
\[x\equiv431\equiv11\pmod{20}.\]

а) Проверим число \(2031\):
\[2031\equiv11\pmod{20}.\]
Остаток совпадает, значит числа \(431\) и \(2031\) могут быть записаны одновременно. Ответ в пункте а) да.

б) Квадрат натурального числа должен иметь остаток \(11\) по модулю \(20\). Но квадраты по модулю \(20\) дают только остатки
\[0,1,4,5,9,16.\]
Остатка \(11\) среди них нет, значит квадратом такое число быть не может.

в) Если среди чисел есть \(1\), то все числа сравнимы с \(1\) по модулю \(20\). Для квадрата получаем
\[n^2\equiv1\pmod{20}.\]
Наименьшее \(n>1\), для которого это верно, равно \(9\):
\[9^2=81\equiv1\pmod{20}.\]
Такой набор чисел можно составить из различных чисел, сравнимых с \(1\) по модулю \(20\), включая \(1\) и \(81\).

Ответ: а) да; б) нет; в) \(9\).

Источник: ЕГЭ 2025