Заппи Заппи

Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 20

Обновлено: 19.07.2026

Задание 19 ЕГЭ 2025

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или семи чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 567? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Пошаговое решение

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Действительно, если в наборе из \(m\) чисел заменить одно число на другое, то разность двух сумм должна делиться на \(m\).

В задаче это условие выполнено для \(m=5\) и \(m=7\). Поэтому все числа имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(5,7)=35.\]
Так как среди чисел есть \(567\), каждое записанное число сравнимо с ним:
\[x\equiv 567\equiv 7\pmod{35}.\]

а) Проверим число \(1414\):
\[1414\equiv 14\pmod{35}.\]
Остаток не совпадает с \(7\), значит одновременно числа \(567\) и \(1414\) быть не могут.

б) Квадрат натурального числа должен был бы давать остаток \(7\) по модулю \(35\). Но квадраты по модулю \(35\) дают только остатки \(0, 1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30\). Остатка \(7\) среди них нет, поэтому квадратом ни одно из записанных чисел быть не может.

в) Если среди чисел есть \(1\), то все записанные числа сравнимы с \(1\) по модулю \(35\). Поэтому для квадрата нужно
\[n^2\equiv 1\pmod{35}.\]
Наименьшее \(n>1\), удовлетворяющее этому условию, равно \(6\), так как
\[6^2=36\equiv 1\pmod{35}.\]

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(6\).

Источник: ЕГЭ 2025

Заппи объясняет каждый шаг

Здесь ты видишь готовый разбор. В приложении Заппи ведёт тебя к ответу сам: подсказывает нужный шаг, находит ошибку и проверяет решение по фото. Бесплатно.

Готовиться вместе с Заппи

Справочный материал

Тригонометрия
Справочные материалы
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha\]
\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta\]