Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 21

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Действительно, если в наборе из \(m\) чисел заменить одно число на другое, то разность двух сумм должна делиться на \(m\).

В задаче это условие выполнено для \(m=3\) и \(m=5\). Поэтому все числа имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(3,5)=15.\]
Так как среди чисел есть \(305\), каждое записанное число сравнимо с ним:
\[x\equiv 305\equiv 5\pmod{15}.\]

а) Проверим число \(1511\):
\[1511\equiv 11\pmod{15}.\]
Остаток не совпадает с \(5\), значит одновременно числа \(305\) и \(1511\) быть не могут.

б) Пусть одно записанное число является квадратом другого. Тогда основание квадрата тоже записано на доске, а значит сравнимо с \(5\) по модулю \(15\). Но
\[5^2\equiv 25\equiv 10\pmod{15}.\]
Квадрат такого числа не может иметь нужный остаток \(5\), поэтому это невозможно.

в) Если среди чисел есть \(n\) и \(n^2\), то они должны иметь одинаковые остатки по модулю \(15\):
\[n^2\equiv n\pmod{15}.\]
Наименьшее \(n>1\), удовлетворяющее этому условию, равно \(6\), так как
\[36\equiv 6\pmod{15}.\]

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(6\).

Источник: ЕГЭ 2025