Задание №19 ЕГЭ: На доске записано k последовательных натуральных чисел… — задача 7

Пусть записан отрезок из \(k\) последовательных натуральных чисел.

а) Да, могло. Например, на отрезке от \(26\) до \(116\) кратны \(25\) ровно три числа:
\[50,75,100.\]
А кратны \(29\) четыре числа:
\[29,58,87,116.\]
Значит, кратных \(25\) меньше, чем кратных \(29\), и пункт а) возможен.

б) Нет, не могло. Если на отрезке ровно \(10\) чисел, делящихся на \(25\), то длина такого отрезка не больше
\[10\cdot25+24=274.\]
Чтобы на отрезке было больше кратных \(29\), их должно быть хотя бы \(11\). Минимальная длина отрезка, содержащего \(11\) кратных \(29\), равна
\[10\cdot29+1=291.\]
Но \(291>274\), значит такая ситуация невозможна.

в) Найдём наибольшее возможное \(k\).

На любом отрезке длины \(k\) количество кратных \(25\) не меньше \(\left\lfloor\frac{k}{25}\right\rfloor\), а количество кратных \(29\) не больше \(\left\lceil\frac{k}{29}\right\rceil\).

Если \(k=150\), то
\[\left\lfloor\frac{150}{25}\right\rfloor=6, \qquad \left\lceil\frac{150}{29}\right\rceil=6.\]
Значит, при \(k=150\) кратных \(25\) не может быть меньше, чем кратных \(29\). Поэтому \(k\le149\).

Значение \(k=149\) достижимо: на отрезке от \(26\) до \(174\) кратных \(29\) шесть, а кратных \(25\) пять.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(149\).

Источник: ЕГЭ 2025