Задание №2 ЕГЭ: Даны векторы a=(4;y a) и b=(x b;0), косинус угла между…

Вектор \(\vec b=(x_b;0)\) лежит на оси \(Ox\).

Косинус угла между \(\vec a=(4;y_a)\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен отношению горизонтальной координаты к длине вектора:
\[\cos\varphi=\frac{4}{\sqrt{4^2+y_a^2}}.\]

По условию:
\[\frac{4}{\sqrt{16+y_a^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\]

Возведём обе части в квадрат:
\[\frac{16}{16+y_a^2}=\frac{4}{5}.\]

Тогда
\[80=64+4y_a^2.\]

Получаем:
\[4y_a^2=16,\]
откуда
\[y_a^2=4.\]

Возможны два значения:
\[y_a=2\]
и
\[y_a=-2.\]

Требуется большее значение, значит
\[y_a=2.\]

Ответ: \(2\).

Источник: БАНК ФИПИ