Задание №2 ЕГЭ: Даны векторы a=(x a;-2) и b=(0;y b), косинус угла между…

Векторы имеют вид:
\[\vec a=(x_a;-2),\]
\[\vec b=(0;y_b).\]

Вектор \(\vec b\) вертикальный, поэтому в скалярном произведении с \(\vec a\) участвует только вертикальная координата:
\[\vec a\cdot\vec b=-2y_b.\]

По формуле косинуса угла между векторами:
\[\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}.\]

По модулю получаем:
\[\frac{2}{\sqrt{x_a^2+4}}=\sqrt{0{,}2}.\]

Так как
\[\sqrt{0{,}2}=\frac{1}{\sqrt{5}},\]
имеем:
\[\frac{2}{\sqrt{x_a^2+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\]

Тогда
\[\sqrt{x_a^2+4}=2\sqrt{5}.\]

Возведём в квадрат:
\[x_a^2+4=20.\]

Значит,
\[x_a^2=16.\]

Возможны значения \(4\) и \(-4\). Требуется меньшее, поэтому
\[x_a=-4.\]

Ответ: \(-4\).

Источник: БАНК ФИПИ