Задание №3 ЕГЭ: В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2…

В правильной четырёхугольной пирамиде основание является квадратом, а высота падает в центр основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна боковому ребру \(5\), один катет равен высоте пирамиды \(2\), а второй катет равен расстоянию от центра квадрата до его вершины. Обозначим это расстояние через \(R\):
\[R=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}.\]
Диагональ квадрата основания равна \(2R=2\sqrt{21}\). Площадь квадрата через диагональ:
\[S_{\text{осн}}=\frac{d^2}{2}=\frac{(2\sqrt{21})^2}{2}=\frac{84}{2}=42.\]
Объём пирамиды:
\[V=\frac13S_{\text{осн}}h=\frac13\cdot42\cdot2=28.\]

Ответ: \(28\).

Источник: БАНК ФИПИ