ЕГЭ · математика · задание 3
Задание 3 ЕГЭ (профиль) по математике: стереометрия
Обновлено: 19.07.2026
Задание 3 профильного ЕГЭ по математике — короткая, но важная задача по стереометрии: цилиндры, конусы, шары, призмы и вопросы вида «во сколько раз изменится объём». Здесь почти не нужны сложные вычисления — нужно понимать, как объём и площадь зависят от размеров тела. Разберём формулы, отработаем алгоритм на реальных примерах и соберём частые ошибки.
Задачи №3 с разбором
Что проверяет задание №3
Задание 3 проверяет, знаешь ли ты базовые формулы объёмов и площадей поверхности тел вращения и многогранников и, главное, умеешь ли рассуждать о том, как эти величины меняются при изменении линейных размеров. Ключевой навык — понимать, что линейный размер входит в объём в третьей степени, а площадь и площадь основания — во второй: увеличили радиус в $8$ раз при той же высоте — объём конуса вырос в $8^2=64$ раза. Часто задача формулируется через сохранение объёма (переливание жидкости) или через масштабирование фигуры, поэтому пригодятся не только формулы, но и умение составить пропорцию и работать с отношениями величин.
Как решать: алгоритм
Выпиши формулу нужного тела: объём цилиндра $V=\pi r^2 h$, конуса $V=\tfrac13\pi r^2 h$, шара $V=\tfrac43\pi R^3$, площадь поверхности и т. д. Держи под рукой, что $S_{\text{осн}}\sim d^2$ (или $\sim r^2$).
Определи, что в задаче остаётся постоянным. При переливании жидкости не меняется объём, при масштабировании фигуры фиксируют одни величины и меняют другие.
Выдели, от каких величин зависит искомое, и в какой степени: линейный размер входит в первой степени, площадь и «квадратичные» величины ($r^2$, $d^2$) — во второй, объём при подобии — в третьей ($k^3$).
Замени числовые размеры на коэффициенты: увеличили в $k$ раз — подставь множитель $k$ в нужной степени. Например, диаметр вырос в $3$ раза, значит площадь основания в $3^2=9$ раз.
Составь пропорцию или уравнение из условия сохранения (обычно равенство объёмов) и вырази искомую величину.
Вычисли и проверь смысл: если объём сохраняется, а площадь основания выросла в $9$ раз, высота уменьшится в $9$ раз: $h=\tfrac{18}{9}=2$.
Запиши ответ ровно в тех единицах, что требует условие (сантиметры, «во сколько раз» — число).
Типичные ошибки и советы
Путают степень: при изменении линейного размера в $k$ раз пишут, что площадь или объём тоже меняются в $k$ раз, забывая про $k^2$ и $k^3$.
Работают с диаметром как с радиусом (или наоборот), хотя отношение площадей от этого не меняется — важно не смешивать сами величины в формуле.
Забывают, что при переливании сохраняется объём, а не высота, и пытаются приравнять высоты сосудов.
Увеличивают величину «в 9 раз» вместо того, чтобы уменьшить: при росте основания уровень жидкости падает, а не растёт.
Теряют $\pi$ или коэффициент $\tfrac13$ там, где они не сокращаются, либо, наоборот, тащат их в отношение, где они сокращаются, усложняя счёт.
Не считай в лоб: почти во всех задачах №3 числа $\pi$, коэффициенты и лишние множители сокращаются — работай с отношениями.
Запомни три «степени подобия»: длина — $k$, площадь — $k^2$, объём — $k^3$. Это решает большинство задач на изменение размеров.
Всегда явно спрашивай себя, какая величина в задаче остаётся постоянной — обычно это и есть уравнение для ответа.
Заппи объясняет каждый шаг
Застрял на задании №3? ИИ-репетитор подскажет следующий шаг, найдёт ошибку и проверит решение по фото. Всё бесплатно.