Задание №16 ОГЭ: Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите…

Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в своей общей середине $O$. Значит $OC=AC/2=18$, и $\triangle BOC$ прямоугольный (прямой угол в $O$).

Из $\mathrm{tg}\,\angle BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$ и $OC=18$ находим $OB=\dfrac{4}{3}\cdot 18=24$. Тогда $BD=2\cdot OB=48$.

Сторона ромба — гипотенуза $\triangle BOC$:
$a=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{36\cdot 48}{2}=864$.

Для вписанной окружности: $S=p\cdot r$, где $p=2a$ (полупериметр ромба). $r=\dfrac{S}{2a}=\dfrac{864}{60}=14{,}4$.

Ответ: 14{,}4

Источник: Банк ФИПИ