Задание №16 ОГЭ: Диагональ AC ромба ABCD равна 6, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите…

Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в своей общей середине $O$. Значит $OC=AC/2=3$, и $\triangle BOC$ прямоугольный (прямой угол в $O$).

Из $\mathrm{tg}\,\angle BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$ и $OC=3$ находим $OB=\dfrac{4}{3}\cdot 3=4$. Тогда $BD=2\cdot OB=8$.

Сторона ромба — гипотенуза $\triangle BOC$:
$a=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24$.

Для вписанной окружности: $S=p\cdot r$, где $p=2a$ (полупериметр ромба). $r=\dfrac{S}{2a}=\dfrac{24}{10}=2{,}4$.

Ответ: 2{,}4

Источник: Банк ФИПИ