Задание №24 ОГЭ: Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в…

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$. Из вершин $A$ и $B$ проведены биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$, пересекающиеся в точке $N$, которая лежит на противоположной стороне $CD$.

Обозначим $\angle DAB=2\alpha$, тогда $\angle ABC=180^\circ-2\alpha$ (сумма односторонних углов при параллельных $AD$ и $BC$). Биссектрисы делят эти углы пополам: $\angle NAB=\alpha$, $\angle NBA=90^\circ-\alpha$.

Рассмотрим $\triangle ANB$: $\angle ANB=180^\circ-\alpha-(90^\circ-\alpha)=90^\circ$ (не используется далее).

Ключ: $\angle AND=\angle NAB=\alpha$ как накрест лежащие при $AB\parallel CD$ и секущей $AN$. Значит, $\triangle AND$ равнобедренный: $\angle DAN=\angle DNA=\alpha$, откуда $DN=AD$.

Аналогично $\angle BNC=\angle NBA=90^\circ-\alpha$, и поскольку $\angle NBC=90^\circ-\alpha$, треугольник $BNC$ равнобедренный: $CN=BC$.

В параллелограмме $AD=BC$, поэтому $DN=CN$, то есть $N$ — середина $CD$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ