Задание №24 ОГЭ: Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD… — задача 19

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ с центром диагоналей $O$. Прямая через $O$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

Диагонали параллелограмма точкой $O$ делятся пополам, поэтому $OB=OD$.

Рассмотрим $\triangle BOP$ и $\triangle DOQ$. В них: $OB=OD$; $\angle BOP=\angle DOQ$ как вертикальные; $\angle OBP=\angle ODQ$ как накрест лежащие при параллельных сторонах $AB\parallel CD$ и секущей $BD$.

По второму признаку равенства треугольников $\triangle BOP=\triangle DOQ$, откуда $BP=DQ$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ