Задание №24 ОГЭ: Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в…

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $\angle ABC$ и $\angle BCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на противоположной стороне $AD$.

Пусть $\angle ABC=2\beta$, тогда $\angle BCD=180^\circ-2\beta$. Биссектрисы: $\angle MBC=\beta$, $\angle MCB=90^\circ-\beta$.

Так как $AD\parallel BC$, $\angle AMB=\angle MBC=\beta$ (накрест лежащие при секущей $BM$). В $\triangle ABM$: $\angle ABM=\beta$, $\angle AMB=\beta$, значит треугольник равнобедренный и $AM=AB$.

Аналогично $\angle DMC=\angle MCB=90^\circ-\beta$ (накрест лежащие при секущей $CM$), а $\angle DCM=90^\circ-\beta$, поэтому $\triangle DMC$ равнобедренный и $DM=DC$.

В параллелограмме $AB=DC$, следовательно $AM=DM$, то есть $M$ — середина $AD$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ