Задание №24 ОГЭ: Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в…

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle ADC$ пересекаются в точке $K$ на стороне $BC$.

Обозначим $\angle DAB=2\alpha$, тогда $\angle ADC=180^\circ-2\alpha$. Биссектрисы: $\angle KAB=\alpha$ (она же $\angle KAD=\alpha$), $\angle KDA=90^\circ-\alpha$ (и $\angle KDC=90^\circ-\alpha$).

По условию $BC\parallel AD$. Тогда $\angle AKB=\angle KAD=\alpha$ как накрест лежащие (секущая $AK$). В $\triangle ABK$: $\angle BAK=\alpha$, $\angle AKB=\alpha$, значит $\triangle ABK$ равнобедренный и $BK=AB$.

Аналогично $\angle DKC=\angle KDA=90^\circ-\alpha$ (накрест лежащие при секущей $DK$), а $\angle KCD$... проще: в $\triangle DCK$ угол при $K$ равен $90^\circ-\alpha$, угол при $D$ равен $90^\circ-\alpha$, значит он равнобедренный и $CK=CD$.

Так как в параллелограмме $AB=CD$, получаем $BK=CK$, то есть $K$ — середина $BC$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ