Задание №24 ОГЭ: На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC… — задача 29

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$; проведена средняя линия, параллельная основаниям. На ней отмечена произвольная точка $F$, из которой проведены отрезки $FB$, $FC$, $FA$, $FD$ к вершинам.

Пусть длины оснований $BC=b$, $AD=a$, высота трапеции $h$. Тогда её площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.

Средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на $\dfrac{h}{2}$. Значит, высота треугольника $BFC$, опущенная из $F$ на прямую $BC$, равна $\dfrac{h}{2}$; высота треугольника $AFD$, опущенная из $F$ на прямую $AD$, также равна $\dfrac{h}{2}$.

Тогда $$S_{BFC}=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{bh}{4},\qquad S_{AFD}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{ah}{4}.$$

Сумма: $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{1}{2}S$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ