Задание №24 ОГЭ: На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC… — задача 30

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$, $BC$ и средней линией. На средней линии выбрана точка $K$; из неё выходят отрезки к вершинам $A$, $B$, $C$, $D$, образующие треугольники $BKC$ и $AKD$.

Обозначим $BC=b$, $AD=a$, высоту трапеции — $h$; тогда $S=\dfrac{a+b}{2}h$.

Средняя линия равноудалена от оснований; расстояние от любой точки $K$ средней линии до прямых $AD$ и $BC$ равно $\dfrac{h}{2}$.

Площади треугольников, у которых одна сторона — основание трапеции, а противоположная вершина $K$: $$S_{BKC}=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{bh}{4},\qquad S_{AKD}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{ah}{4}.$$

Суммируем: $S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{1}{2}S$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ