Задание №24 ОГЭ: На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC… — задача 31

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$, $BC$; проведена средняя линия. Точка $E$ на средней линии соединена с вершинами, что даёт треугольники $BEC$ и $AED$ на разных основаниях.

Пусть $BC=b$, $AD=a$, высота трапеции $h$; площадь $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$.

Точка $E$ на средней линии удалена от прямой $BC$ на $\dfrac{h}{2}$ и от прямой $AD$ тоже на $\dfrac{h}{2}$ (средняя линия параллельна основаниям и делит высоту пополам).

Поэтому $$S_{BEC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{bh}{4},\qquad S_{AED}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{ah}{4}.$$

Сумма: $S_{BEC}+S_{AED}=\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{S}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ