Задание №24 ОГЭ: Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E… — задача 32

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AD\parallel BC$. Внутри отмечена произвольная точка $E$, из которой проведены отрезки к четырём вершинам; выделены треугольники $BEC$ и $AED$ на противоположных сторонах.

Пусть $AD=BC=a$ — длины противоположных сторон параллелограмма, $h$ — расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ (высота параллелограмма). Площадь параллелограмма $S=a\cdot h$.

Проведём через $E$ прямую, параллельную $AD$ и $BC$. Она пересекает стороны $AB$ и $CD$. Обозначим расстояние от $E$ до прямой $AD$ через $h_1$, а до $BC$ — через $h_2$. Тогда $h_1+h_2=h$.

Площадь треугольника $AED$ с основанием $AD=a$ и высотой $h_1$: $S_{AED}=\dfrac{1}{2}ah_1$. Площадь треугольника $BEC$ с основанием $BC=a$ и высотой $h_2$: $S_{BEC}=\dfrac{1}{2}ah_2$.

Сумма: $S_{AED}+S_{BEC}=\dfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}S$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ