Задание №24 ОГЭ: Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках…

Рисунок. Две пересекающиеся окружности с центрами $M$ и $N$; они пересекаются в точках $S$ и $T$. Центры $M$ и $N$ находятся по одну сторону от прямой $ST$, проведены отрезки $MS$, $MT$, $NS$, $NT$ и прямая $MN$.

Точки $S$ и $T$ принадлежат обеим окружностям, поэтому $MS=MT$ (как радиусы первой окружности) и $NS=NT$ (как радиусы второй).

Значит, каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $ST$. По теореме о геометрическом месте точек, равноудалённых от концов отрезка, такие точки лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Следовательно, и $M$, и $N$ лежат на серединном перпендикуляре к $ST$, то есть прямая $MN$ совпадает с этим перпендикуляром. Отсюда $MN\perp ST$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ