Задание №24 ОГЭ: Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F… — задача 33

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ с противоположными сторонами $AD$ и $BC$. Внутри произвольно взята точка $F$ и соединена с каждой из четырёх вершин, чем выделены треугольники $BFC$ и $AFD$.

Обозначим $AD=BC=a$, расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ — $h$. Площадь параллелограмма $S=a\cdot h$.

Пусть расстояние от точки $F$ до прямой $BC$ равно $h_1$, а до $AD$ — $h_2$. Так как $F$ лежит внутри параллелограмма, $h_1+h_2=h$.

Треугольники $BFC$ и $AFD$ имеют основания $BC$ и $AD$ длиной $a$; их высоты — именно $h_1$ и $h_2$. Тогда $$S_{BFC}=\dfrac{1}{2}ah_1,\qquad S_{AFD}=\dfrac{1}{2}ah_2.$$

Складывая: $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{S}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ