Задание №24 ОГЭ: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и… — задача 8

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$ с высотами $AA_1$ (из $A$ на $BC$) и $BB_1$ (из $B$ на $AC$). Точки $A_1$, $B_1$ лежат на сторонах $BC$ и $AC$; при углах $AA_1B$ и $AB_1B$ отмечены прямые углы.

Высоты $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны сторонам $BC$ и $AC$ соответственно, поэтому $\angle AA_1B=\angle AB_1B=90^\circ$. Значит, точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$ (геометрическое место точек, из которых отрезок виден под прямым углом).

Тогда четырёхугольник $ABA_1B_1$ вписан в эту окружность. Углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB_1$ и расположенные по одну сторону от хорды $AB_1$. По теореме о вписанных углах они равны.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ