Задание №24 ОГЭ: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и… — задача 9

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$ с высотами $AA_1$ и $CC_1$. Основание $A_1$ лежит на $BC$, основание $C_1$ — на $AB$; прямые углы при $A_1$ и $C_1$ выделены.

Из определения высот $\angle AA_1C=\angle AC_1C=90^\circ$, поэтому точки $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$. Значит, четырёхугольник $AC_1A_1C$ — вписанный.

В этой окружности углы $AA_1C_1$ и $ACC_1$ опираются на одну дугу $AC_1$ и расположены по одну сторону от хорды $AC_1$. По теореме о вписанных углах, опирающихся на одну дугу, $\angle AA_1C_1=\angle ACC_1$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ