Задание №24 ОГЭ: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали… — задача 4

Рисунок. Изображена трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, внутри трапеции выделяются треугольники $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$.

Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$. Так как $BC\parallel AD$, вершины $B$ и $C$ лежат на прямой, параллельной $AD$, а значит высоты этих треугольников, опущенные из $B$ и $C$ на $AD$, равны. Поэтому $S_{ABD}=S_{ACD}$.

Оба треугольника содержат общий треугольник $AOD$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей). Вычитая его площадь: $$S_{ABD}-S_{AOD}=S_{AOB},\quad S_{ACD}-S_{AOD}=S_{COD}.$$

Из равенства левых частей следует $S_{AOB}=S_{COD}$, что и требовалось.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ