Задание №24 ОГЭ: В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и…

Рисунок. Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $A$. Высоты $BB_1$ и $CC_1$ опущены на продолжения сторон $AC$ и $AB$ соответственно; точки $B_1$ и $C_1$ оказываются вне сторон.

Угол $BAC$ тупой, поэтому высоты $BB_1$ и $CC_1$ падают на продолжения сторон $AC$ и $AB$. При этом $\angle BB_1A=\angle CC_1A=90^\circ$ (смежные с прямым).

Рассмотрим $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$. Угол $A$ (для $\triangle AB_1C_1$ это угол $B_1AC_1$, вертикальный к $\angle BAC$) общий (точнее, равен ему как вертикальный).

Из прямоугольных треугольников $ABB_1$ и $ACC_1$: $AB_1=AB\cos\angle B_1AB=AB|\cos\angle BAC|$ и $AC_1=AC|\cos\angle BAC|$. Значит, $$\dfrac{AB_1}{AC}=\dfrac{AC_1}{AB}=|\cos\angle BAC|.$$

Так как угол между сторонами $AB_1$, $AC_1$ в $\triangle AB_1C_1$ равен $\angle BAC$ (вертикальные), по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними: $\triangle AB_1C_1\sim\triangle ACB$ (с коэффициентом $|\cos\angle BAC|$).

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ