Задание №24 ОГЭ: В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и…

Рисунок. Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $B$. Высоты $AA_1$ и $CC_1$ опущены на продолжения сторон $BC$ и $AB$ за точку $B$; основания $A_1$ и $C_1$ лежат вне исходных сторон.

Угол $ABC$ тупой, поэтому основания высот $A_1$ (на прямой $BC$) и $C_1$ (на прямой $AB$) лежат вне отрезков $BC$ и $AB$, а точнее точка $A_1$ — на продолжении $BC$ за $B$, $C_1$ — на продолжении $AB$ за $B$. Имеем $\angle AA_1B=\angle CC_1B=90^\circ$.

Из прямоугольных треугольников $ABA_1$ и $CBC_1$: $BA_1=AB\cdot|\cos\angle ABC|$ (из треугольника с гипотенузой $AB$ и углом при $B$, равным $180^\circ-\angle ABC$), аналогично $BC_1=BC\cdot|\cos\angle ABC|$. Значит, $$\dfrac{BA_1}{BC}=\dfrac{BC_1}{AB}=|\cos\angle ABC|.$$

Угол между сторонами $BA_1$ и $BC_1$ в $\triangle A_1BC_1$ равен углу $\angle ABC$ (вертикальный к нему). По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними: $\triangle A_1BC_1\sim\triangle CBA$, а значит и подобен $\triangle ABC$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ