Задание №24 ОГЭ: В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и…

Рисунок. Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ опущены на продолжения сторон $BC$ и $AC$; основания $A_1$ и $B_1$ располагаются вне сторон треугольника.

Угол $ACB$ тупой; высоты $AA_1$ и $BB_1$ опускаются на продолжения сторон $BC$ и $AC$. Основания высот $A_1$ и $B_1$ расположены на продолжениях, причём $\angle AA_1C=\angle BB_1C=90^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $ACA_1$: $CA_1=AC\cdot|\cos\angle ACB|$ (учёт смежного угла). Аналогично, $CB_1=BC\cdot|\cos\angle ACB|$. Отсюда $$\dfrac{CA_1}{CB}=\dfrac{CB_1}{CA}=|\cos\angle ACB|.$$

Угол между $CA_1$ и $CB_1$ в $\triangle A_1CB_1$ равен $\angle ACB$ (вертикальный). По признаку подобия по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними $\triangle A_1CB_1\sim\triangle BCA\sim\triangle ACB$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ