Задание №25 ОГЭ: Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно… — задача 7

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=1$ и $AD$, боковыми сторонами $AB=10$ и $CD=26$; $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. Биссектриса угла $ADC$ из $D$ проходит через $M$; отрезок $MN$ — средняя линия.

Пусть $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции: $MN\parallel AD$ и $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как $DM$ — биссектриса $\angle ADC$, $\angle ADM=\angle MDC$. Из $MN\parallel AD$ следует $\angle ADM=\angle DMN$ (накрест лежащие), поэтому $\angle DMN=\angle MDN$, треугольник $DMN$ равнобедренный и $MN=DN=\dfrac{CD}{2}$. Отсюда $AD+BC=CD$, то есть $AD=CD-BC=26-1=25$.

Опустим перпендикуляры $BH$ и $CK$ из $B$ и $C$ на $AD$; $BH=CK=h$ — высота трапеции, $HK=BC=1$, $AH+KD=AD-BC=24$. Из прямоугольных треугольников $AH^2+h^2=AB^2=100$ и $KD^2+h^2=CD^2=676$. Вычитая: $KD^2-AH^2=576$, $(KD-AH)(KD+AH)=576$, $KD-AH=24$. Вместе с $KD+AH=24$ получаем $KD=24$, $AH=0$, $h=10$. Площадь $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{25+1}{2}\cdot 10=130$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ