Задание №25 ОГЭ: Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно… — задача 8

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=1$ и $AD$, боковыми сторонами $AB=6$ и $CD=10$; середины боковых сторон $M$ и $N$ соединены средней линией. Биссектриса угла $ADC$ из $D$ проходит через $M$.

Пусть $M$, $N$ — середины $AB$ и $CD$. Средняя линия $MN\parallel AD$, $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Из равенства $\angle ADM=\angle MDC$ (биссектриса) и $\angle ADM=\angle DMN$ (накрест лежащие при $MN\parallel AD$) получаем $\triangle DMN$ равнобедренный, $MN=DN=\dfrac{CD}{2}$. Значит $AD+BC=CD$, $AD=10-1=9$.

Опустим высоты $BH$, $CK$ на $AD$: $HK=BC=1$, $AH+KD=AD-BC=8$. Из $AB^2-AH^2=CD^2-KD^2=h^2$: $KD^2-AH^2=100-36=64$, $(KD-AH)\cdot 8=64$, $KD-AH=8$. Тогда $KD=8$, $AH=0$, $h=\sqrt{36}=6$. Площадь $S=\dfrac{9+1}{2}\cdot 6=30$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ