Задание №25 ОГЭ: Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно… — задача 9

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=16$ и $AD$, боковыми сторонами $AB=40$ и $CD=41$; $M$, $N$ — середины $AB$, $CD$; биссектриса угла $ADC$ из вершины $D$ проходит через $M$.

Пусть $M$, $N$ — середины $AB$, $CD$. Средняя линия $MN\parallel AD$, $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как $DM$ — биссектриса угла $ADC$, $\angle ADM=\angle MDC=\angle DMN$ (последнее — как накрест лежащие при $MN\parallel AD$). Следовательно, $\triangle DMN$ равнобедренный, $MN=DN=\dfrac{CD}{2}$. Значит $AD+BC=CD$, $AD=41-16=25$.

Опустим высоты $BH$, $CK$ на $AD$: $HK=BC=16$, $AH+KD=AD-BC=9$. Из $h^2=AB^2-AH^2=CD^2-KD^2$ имеем $KD^2-AH^2=CD^2-AB^2=81$, $(KD-AH)\cdot 9=81$, $KD-AH=9$. Отсюда $KD=9$, $AH=0$, $h=40$. Площадь $S=\dfrac{25+16}{2}\cdot 40=820$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ