Задание №25 ОГЭ: Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а…

Рисунок. Трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, углами при $AD$ $53^\circ$ и $37^\circ$; продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, образуя прямой угол. Отмечены середины оснований и боковых сторон с соединяющими их отрезками длин $6$ и $2$.

Сумма углов при основании $53^\circ+37^\circ=90^\circ$, поэтому продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон (средняя линия) равен $\dfrac{a+b}{2}$, а отрезок между серединами оснований — $\dfrac{a-b}{2}$ (следствие теоремы о медиане в прямоугольном треугольнике). Значит $\dfrac{a+b}{2}=6$, $\dfrac{a-b}{2}=2$. Отсюда $a=8$, $b=4$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ