Задание №25 ОГЭ: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан…

Рисунок. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность; $AB=12$, $CD=30$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются внутри окружности в точке $K$ под углом $60^\circ$. Видны дуги $AB$ и $CD$, стягиваемые данными сторонами.

Угол между диагоналями вписанного четырёхугольника: $\angle AKB=\dfrac{1}{2}(\smile AB+\smile CD)=60^\circ$. Пусть $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\gamma$, $\alpha+\gamma=60^\circ$. Тогда $AB=2R\sin\alpha$, $CD=2R\sin\gamma$, и при $\alpha+\gamma=60^\circ$ справедливо $\sin^2\alpha+\sin\alpha\sin\gamma+\sin^2\gamma=\dfrac{3}{4}$. Значит $AB^2+AB\cdot CD+CD^2=3R^2$. $R^2=\dfrac{144+360+900}{3}=468$, $R=6\sqrt{13}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ