Задание №25 ОГЭ: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан…

Рисунок. Вписанный четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=40$ и $CD=10$; диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в $K$, угол между ними равен $60^\circ$. На окружности отмечены дуги $AB$ и $CD$.

Так как $ABCD$ вписан, $\angle AKB=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}=60^\circ$. Положим $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\gamma$, $\alpha+\gamma=60^\circ$. Тождество: $\sin^2\alpha+\sin\alpha\sin\gamma+\sin^2\gamma=\dfrac{3}{4}$. Умножая на $(2R)^2$: $AB^2+AB\cdot CD+CD^2=3R^2$. При $AB=40$, $CD=10$: $R^2=\dfrac{1600+400+100}{3}=700$, $R=10\sqrt{7}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ