Задание №25 ОГЭ: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на… — задача 34

Рисунок. Треугольник $ABC$; на стороне $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ с $AM=18$, $AN=22$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$ в некоторой точке $T$. Угол $\angle BAC$ — острый.

Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По теореме о касательной и секущей: $AT^2=AM\cdot AN=18\cdot 22=396$, $AT=6\sqrt{11}$. Обозначим $\varphi=\angle BAC$; дано $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$, тогда $\sin\varphi=\dfrac{5}{6}$. В $\triangle AMT$: $AM=18$, $AT=6\sqrt{11}$, угол $\angle MAT=\varphi$. По теореме косинусов $MT^2=AM^2+AT^2-2\cdot AM\cdot AT\cos\varphi=324+396-2\cdot 18\cdot 6\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=720-396=324$, $MT=18$. Аналогично в $\triangle ANT$: $NT^2=22^2+396-2\cdot 22\cdot 6\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=484+396-484=396$, $NT=6\sqrt{11}$. По теореме синусов для $\triangle MNT$, вписанного в искомую окружность: угол $\angle MTA$ (между касательной $AT$ и хордой $TM$) равен вписанному углу $\angle MNT$, опирающемуся на $MT$; следовательно $2R=\dfrac{MT}{\sin\angle MNT}$. В $\triangle ANT$ по теореме синусов $\dfrac{AT}{\sin\angle ANT}=\dfrac{NT}{\sin\varphi}$, откуда $\sin\angle ANT=\dfrac{AT\sin\varphi}{NT}=\dfrac{6\sqrt{11}\cdot 5/6}{6\sqrt{11}}=\dfrac{5}{6}$. Угол $\angle MNT=180^\circ-\angle ANT$, $\sin\angle MNT=\dfrac{5}{6}$. Значит $2R=\dfrac{MT}{\sin\angle MNT}=\dfrac{18}{5/6}=\dfrac{108}{5}$, $R=\dfrac{54}{5}=10{,}8$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ