Задание №25 ОГЭ: На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на… — задача 25

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$ с высотой $AD$ на сторону $BC$; на $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M$. Отмечен ортоцентр $H$ на отрезке $AD$ между $A$ и $D$.

Пусть $A'$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ с описанной окружностью $\triangle ABC$. Известно, что $A'$ — отражение ортоцентра $H$ относительно $BC$, поэтому $DH=DA'$. По степени точки $D$ относительно описанной окружности: $BD\cdot DC=AD\cdot DA'=AD\cdot DH$. С другой стороны, $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, $\angle BMC=90^\circ$; $MD\perp BC$, по свойству среднего пропорционального $MD^2=BD\cdot DC$. Значит $AD\cdot DH=MD^2$, $DH=\dfrac{15^2}{45}=5$. $AH=AD-DH=45-5=40$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ