Задание №25 ОГЭ: На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на… — задача 26

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$ с высотой $AD$ к стороне $BC$; на $BC$ как на диаметре построена полуокружность, она пересекает отрезок $AD$ в точке $M$. Ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника на отрезке $AD$.

В окружности с диаметром $BC$: $\angle BMC=90^\circ$, $MD$ — высота из прямого угла, откуда $MD^2=BD\cdot DC$. По степени точки $D$ относительно описанной окружности $\triangle ABC$: $BD\cdot DC=AD\cdot DA'$, где $A'$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ с окружностью. Так как $A'$ симметрична ортоцентру $H$ относительно $BC$, $DA'=DH$. Значит $AD\cdot DH=MD^2$, $DH=\dfrac{64^2}{80}=51{,}2$. $AH=80-51{,}2=28{,}8$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ