Задание №25 ОГЭ: Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD… — задача 13

Рисунок. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность с центром в середине $M$ стороны $AD$; $AD$ — диаметр. Отмечены дуги $AB$, $BC$, $CD$ и вписанные углы $\angle B=132^\circ$, $\angle C=93^\circ$.

Раз $M$ равноудалена от $A$, $B$, $C$, $D$, четырёхугольник вписан в окружность с центром $M$ и диаметром $AD$. Рассмотрим вписанные углы: $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$, $\angle BCD$ — на дугу $BAD$. Пусть дуги $AB=2\alpha$, $BC=2\beta$, $CD=2\gamma$, $DA=\pi$ (полуокружность). Тогда $\alpha+\beta+\gamma=\pi/2$. $\angle B=\pi/2+\gamma=132^\circ\Rightarrow\gamma=42^\circ$; $\angle C=\pi/2+\alpha=93^\circ\Rightarrow\alpha=3^\circ$. $\beta=90^\circ-45^\circ=45^\circ$. $BC=2R\sin\beta=18$, значит $2R=\dfrac{18}{\sin 45^\circ}=18\sqrt{2}$. $AD=18\sqrt{2}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ