Задание №25 ОГЭ: Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD… — задача 14

Рисунок. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с диаметром $AD$ описанной окружности и центром $M$ — серединой $AD$. Вписанные углы $\angle B=110^\circ$ и $\angle C=100^\circ$ опираются на соответствующие дуги.

$M$ равноудалена от всех вершин, значит $ABCD$ вписан в окружность диаметра $AD$ с центром $M$. Обозначим дуги $AB=2\alpha$, $BC=2\beta$, $CD=2\gamma$, $DA=\pi$, тогда $\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$. Вписанные углы: $\angle B=90^\circ+\gamma=110^\circ\Rightarrow\gamma=20^\circ$; $\angle C=90^\circ+\alpha=100^\circ\Rightarrow\alpha=10^\circ$. Значит $\beta=60^\circ$. $BC=2R\sin 60^\circ=14$, $2R=\dfrac{14}{\sin 60^\circ}=\dfrac{28\sqrt{3}}{3}$. $AD=\dfrac{28\sqrt{3}}{3}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ